Πώς διαβάζω Μαθηματικά ;

Πώς διαβάζω Μαθηματικά ;   (ΜΕΡΟΣ Α΄)

Ο τρόπος προσέγγισής τους, καθορίζει το πόσο "εύκολα" ή "δύσκολα" θα είναι...

Δεν είναι σκοπός αυτού του άρθρου ν' ασχοληθεί με τις αιτίες του προβλήματος, αλλά να δώσει μερικές χρήσιμες συμβουλές και κατευθύνσεις για βελτίωση της σχέσης που έχουν οι μαθητές με τα Μαθηματικά, όποια κι αν είναι αυτή. Και - γιατί να μην το παραδεχθούμε ανοιχτά; - επειδή οι περισσότεροι μαθητές έχουν κακή σχέση μαζί τους, το άρθρο αυτό ελπίζει να συμβάλει στην βελτίωση αυτής της συμβίωσης. Δυστυχώς γι' αυτούς που δεν θέλουν ούτε στα μάτια τους να τα βλέπουν, αυτή η συμβίωση λήγει στην Γ΄ Λυκείου, αν ακολουθήσουν καθαρά θεωρητικές σπουδές. Επομένως, 6 χρόνια στο Δημοτικό + 3 χρόνια στο Γυμνάσιο + 2 χρόνια στο Λύκειο = 11 χρόνια Μαθηματικά.

Συγγνώμη, τι παραπάνω έχουν οι ταινίες τρόμου δηλαδή;;;

Γυμνάσιο: η αρχή του προβλήματος.

Θα εξηγήσω αμέσως γιατί θεωρώ το Γυμνάσιο ως αρχή του προβλήματος και όχι το Δημοτικό.

Στο Δημοτικό τα παιδιά έρχονται σε επαφή με τα Μαθηματικά σε πρακτικό επίπεδο: γνωριμία με τους αριθμούς και τις βασικές πράξεις, προβλήματα Πρακτικής Αριθμητικής, δηλαδή προβλήματα -γενικώς- που μπορούν ακόμη και με τα χέρια τους να πιάσουν. Οι αφηρημένες έννοιες (π.χ. εξισώσεις) τοποθετούνται σε πρακτικό επίπεδο («Αν 1 κιλό μήλα κοστίζουν 1,8 ευρώ, πόσα κιλά μήλα αγοράζουμε με 4,2 ευρώ;») και τα παιδιά αρχίζουν να θέτουν τις πρώτες βάσεις της αποκαλούμενης «μαθηματικής σκέψης».

Αν και δεν είναι ακριβώς «μαθηματική σκέψη» αυτό, χάριν των επομένων θα συμφωνήσω. Με αυτά τα πρώτα προβλήματα στο Δημοτικό, αλλά κι επειδή σαν βαθμίδα εκπαίδευσης -καίτοι σημαντική- δεν έχει τις απαιτήσεις (αλλά και το επίπεδο δυσκολίας) του Γυμνασίου και του Λυκείου, τα 6 χρόνια του Δημοτικού περνάνε χωρίς πολλές σκοτούρες για τα παιδιά (καλώς, αφού το αντίθετο θα επέφερε περισσότερα κακά απ' όσα καλά -θεωρητικά- θα δημιουργούσε).

Επομένως; Γιατί το Γυμνάσιο είναι η αρχή του προβλήματος;

Διότι στο Γυμνάσιο υπάρχει πλήρης αλλαγή πλεύσης και το πρώτο ουσιαστικό «πολιτισμικό σοκ» των μαθητών. Από την Πρακτική Αριθμητική πάνε στα Μαθηματικά, ήτοι από το συγκεκριμένο πάνε στο αφηρημένο. Το πρόβλημα με τα μήλα πλέον αποτελεί ένα από τα παραδείγματα που δημιουργούνται για την εισαγωγή και μύηση του μαθητή στην έννοια της εξίσωσης, στην ζωή τους πλέον μπαίνει «ο άγνωστος x» (τον οποίο χρόνια θα κυνηγούν να βρουν), μαθαίνουν για Άλγεβρα και Γεωμετρία, μαθαίνουν ότι τα γράμματα παίζουν τον ρόλο αριθμών, μαθαίνουν για μεταβλητές και σταθερές, για... για... για... και το πάρτι αρχίζει.

Η Α΄ Γυμνασίου αποτελεί τάξη μετάβασης από το Δημοτικό στο Γυμνάσιο και οι αφηρημένες έννοιες των Μαθηματικών εισάγονται... «με το μαλακό». Ακόμη κι έτσι όμως, η πρώτη «κρυάδα» έρχεται, αφού οι μαθητές βλέπουν ότι η «αθωότητα» του Δημοτικού χάνεται και το παιχνίδι «χοντραίνει». Έχουν, πλέον, ασκήσεις για το σπίτι, τεστ, διαγωνίσματα, βαθμούς, κάποιοι ακόμη και φροντιστήριο (κακώς).

Στην Β΄ Γυμνασίου, το τέλος της εποχής της αθωότητας του Δημοτικού έχει ολοκληρωθεί. Η εποχή αυτή έκλεισε διά παντός με το πέρας των μαθημάτων της Α΄ Γυμνασίου και πλέον το μαθηματικό λεξιλόγιο εμπλουτίζεται με νέες λέξεις και εκφράσεις (εξίσωση, συντελεστής του αγνώστου, διαιρώ με τον συντελεστή του αγνώστου, φορά ανίσωσης, Πυθαγόρειο Θεώρημα, Τριγωνομετρία κ.λπ). Αυτή είναι η πιο κρίσιμη χρονιά, αφού πλέον πράγματι μιλάμε για Μαθηματικά. Εδώ παραμονεύει η αρχή του προβλήματος «Μαθηματικά» κι εδώ θα δώσω τις πρώτες κατευθύνσεις και συμβουλές.

Ασφαλώς και δεν τίθεται θέμα κατευθύνσεων και συμβουλών προς τους καθηγητές. Την άποψή μου μπορεί να την καταθέσω, αλλά να δώσω κατευθύνσεις σε συνάδελφο... όχι, δεν θεωρώ εαυτόν άξιο γι' αυτό. Απευθύνομαι στους μαθητές και τους γονείς τους, οι οποίοι πρέπει να είναι σε τακτική επαφή με τους καθηγητές και να ρωτούν για την πορεία τους στα Μαθηματικά. Σε άλλο άρθρο μου (μπορείτε να το διαβάσετε εδώ), αναφέρθηκα στα πολύ μεγάλα ποσοστά κακών βαθμολογιών στις πανελλήνιες εξετάσεις. Θεωρείται ότι αυτά είναι αποτέλεσμα των δύσκολων θεμάτων, της μεγάλης διδακτέας - εξεταστέας ύλης της Γ΄ Λυκείου (που δεν είναι μεγάλη, αφού παλιότερα ήταν πολλαπλάσια και δυσκολότερη της σημερινής), του φορτωμένου προγράμματος των μαθητών (που δεν είναι κάτι νέο, αφού εδώ και δεκαετίες οι μαθητές έχουν πολλές υποχρεώσεις παράλληλα να εκπληρώσουν) και άλλων παραγόντων.

Ας συμφωνήσω στα παραπάνω, χάριν της συζήτησης (που δεν συμφωνώ στο σύνολό τους, όπως είδατε από τις μικροενστάσεις που παρενθετικά κατέθεσα, αλλά -εν πάση περιπτώσει- ας συμφωνήσω). Ωραία, αυτό είναι το αποτέλεσμα. Το αίτιο ποιο είναι; Εντοπίζεται κάπου στον χρόνο, δηλαδή στην πορεία του μαθητή στα Μαθηματικά από το Γυμνάσιο έως και το Λύκειο ή φταίει μόνο η ύλη της Γ΄ Λυκείου, η δυσκολία των θεμάτων κ.λπ, κ.λπ;

Στα Μαθηματικά δεν διαβάζουμε απαραίτητα ό,τι βλέπουμε.



Όπως είπα ήδη από την αρχή, σκοπός του άρθρου δεν είναι ν' ασχοληθεί με τις αιτίες του προβλήματος (χωρίς να τις απαξιώνω όμως, αφού ενασχόληση μ' ένα πρόβλημα χωρίς αναφορά στις αιτίες και προτάσεις λύσεων θεωρείται ελλειπής κατ' εμέ). Θέλω να επισημάνω τα σημεία εκείνα που πρέπει να προσεχθούν και τι μπορεί να κάνει ο ίδιος ο μαθητής.

Όσοι έχετε ακούσει ή διαβάσει κάπου αυτό που θα πω, δεν θα σας φανεί νέο. Όσοι δεν το έχετε κάνει, θα δείτε τι ισχύει και γιατί.

Τα Μαθηματικά είναι Γλώσσα. Γλώσσα, όπως τα ελληνικά, τα αγγλικά, τα κινέζικα (δεν τα επέλεξα τυχαία, αφού και τα Μαθηματικά, κινέζικα φαίνονται, έτσι δεν είναι;), που σημαίνει ότι έχουν το «αλφάβητό» τους, την «γραμματική» τους, το «συντακτικό» τους, την «προφορά» τους.

Η πρώτη σύγκρουση γίνεται εδώ, δηλαδή στο τι βλέπουμε και τι διαβάζουμε. Θα δώσω μερικά απλά παραδείγματα για να γίνω κατανοητός. Το πως συνδέονται με τα Μαθηματικά, θα το δείξω μετά.

Τα αγγλικά είναι η πιο διαδεδομένη γλώσσα. Πέντε - έξι λέξεις ξέρουμε όλοι μας, γι' αυτό θα στηρίξω τα παραδείγματά μου σ' αυτά.

1ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Η λέξη «Wednesday» (Τετάρτη) διαβάζεται «γουένζντεϊ».

Γιατί δεν διαβάζουμε «γουίντνεζντεϊ», δηλαδή ό,τι βλέπουμε, τα γράμματα με την σειρά που τα βλέπουμε; Το «e» δεν διαβάζεται «ι», σύμφωνα με το αγγλικό αλφάβητο; Γιατί τονίζουμε στο «έ» (γουένζντεϊ);

Η απάντηση είναι απλή: διότι έτσι μας έμαθε ο καθηγητής των Αγγλικών ότι διαβάζεται.

2ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Η λέξη «Sunday» (Κυριακή) διαβάζεται «σάντεϊ».

Γιατί δεν διαβάζεται «σγιούντεϊ»; Το «u» δεν διαβάζεται «γιου»;

Η απάντηση είναι ακριβώς η ίδια με πριν.

Τώρα φανταστείτε να με ρωτήσει ένας τουρίστας (όχι απαραίτητα Άγγλος, αλλά να ξέρει πέντε αγγλικά) τι μέρα είναι σήμερα και να του απαντήσω «σγιούντεϊ». Νομίζετε ότι θα καταλάβει; Δεν νομίζω...

3ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Ας βάλουμε και μια απλή φράση: «I want some water, please» (Θέλω λίγο νερό, παρακαλώ). Διαβάζεται «άι γουόντ σαμ γουότερ, πλιζ».

Να μην μπω στην διαδικασία να δώσω διάφορους «κορακίστικους» τρόπους ανάγνωσης...

Τα παραδείγματα μπορούν να επεκταθούν και σε διάφορους συμβολισμούς που υπάρχουν στις γλώσσες, σε γραμματικούς και συντακτικούς κανόνες κ.ο.κ. Ώρα είναι, όμως, να δούμε κάποιες αντιστοιχίες με την μαθηματική γλώσσα, ποιος είναι ο σωστός τρόπος ανάγνωσης και ποιος ο λανθασμένος.

Παρακάτω βλέπετε δύο από τις βασικότερες και πιο γνωστές ταυτότητες της Άλγεβρας. Ένα σύνολο συμβόλων, που έχουν τον τρόπο τους να διαβάζονται. Νομίζω πως, αν βοηθήσω λέγοντας ότι το μικρό 2 που είναι ψηλά διαβάζεται «τετράγωνο» (αν δεν το θυμάστε από τα γυμνασιακά σας χρόνια), θα μπορέσετε να διαβάσετε :

«παρένθεση, άλφα συν βήτα στο τετράγωνο, παρένθεση, ίσον άλφα στο τετράγωνο συν δύο άλφα βήτα συν βήτα στο τετράγωνο».

Καταλάβατε, όμως, τι είπατε; Καταλάβατε πού θα κολλήσει αυτό σε κάποια άσκηση και πώς θα σας βοηθήσει; Αν δεν καταλάβατε τι στην ουσία είπατε και πώς αυτό θα το αξιοποιήσετε σε κάποια άσκηση, τότε να ποιο είναι το πρόβλημα.

Κάθε γλώσσα, όπως είναι γνωστό, έχει τις ιδιοτροπίες της, κάποιους ειδικούς κανόνες δηλαδή, που δεν συναντώνται απαραίτητα σε άλλες (ή όλες τις) γλώσσες. Τα Μαθηματικά έχουν την εξής ιδιοτροπία: μπορούν και διαβάζονται και ανάποδα. Όταν, όμως, γίνει αυτό, το συμπέρασμα που προκύπτει δεν είναι πάντα το ίδιο μ' αυτό που προκύπτει από την «κανονική» ανάγνωση.

Τι σημαίνει «κανονική» και τι «ανάποδη» ανάγνωση; Δεν είναι κάποιοι επίσημοι μαθηματικοί όροι, δεν είναι καν μαθηματικοί όροι, δεν θα δείτε σε κανένα βιβλίο Μαθηματικών «αυτό διαβάζεται κανονικά έτσι και ανάποδα έτσι». Αν υπάρχουν αυτές οι λέξεις, θα είναι εντός εισαγωγικών, ακριβώς για να δειχθεί ότι πρόκειται για -συγχωρήστε μου την λέξη- «μπακάλικο» τρόπο ανάγνωσης (δεν χρησιμοποιώ αυτήν την λέξη υποτιμητικά προς τους μπακάληδες, προς Θεού).

«Κανονική» γραφή - ανάγνωση, είναι όταν την διαβάζουμε από αριστερά προς τα δεξιά, όπως δηλαδή και τα κείμενα στις περισσότερες γλώσσες του κόσμου. «Ανάποδη» γραφή - ανάγνωση, είναι όταν παίρνουμε αυτό που είναι γραμμένο μετά το « = » και το γράφουμε πριν το « = » και αυτό που είναι μετά το « = » το γράφουμε πριν απ' αυτό (το γνωστό «αριστερό» και «δεξί» μέλος της ισότητας ή το «πρώτο» και το «δεύτερο» μέλος της). Στις δύο προηγούμενες εικόνες γράφτηκαν οι ίδιες ταυτότητες, αλλά «από την ανάποδη». Για να μην ξοδέψουμε περισσότερο χώρο και χρόνο για το πώς θα διαβαστεί, απλά θα πω ότι διαβάζεται όπως και η «κανονική», δηλαδή «άλφα στο τετράγωνο... κ.λπ».

ΛΑΘΟΣ. Τόσο η «κανονική» όσο και η «ανάποδη» ανάγνωση είναι λανθασμένες. Όπως η λέξη «Sunday» δεν διαβάζεται «σγιούντεϊ», έτσι κι αυτή η ταυτότητα δεν διαβάζεται όπως παραπάνω σημειώθηκε.

Και πώς διαβάζεται; Να πώς:

«όταν έχουμε άθροισμα δύο τετραγώνων συν το διπλάσιο γινόμενο των βάσεων των τετραγώνων, τότε αυτό ισούται με το άθροισμα των βάσεων υψωμένο στο τετράγωνο».

Πάλι για οδηγίες χρήσης πρόκειται και όχι για μια αλληλουχία συμβόλων που διαβάζονται σύμφωνα με το «αλφαβητάρι» των Μαθηματικών.

Ποιος είναι ο σωστός τρόπος ανάγνωσης; Να ποιος:

«όταν εντός παρένθεσης έχω ένα άθροισμα, τότε συνεχίζω παίρνοντας το τετράγωνο του πρώτου, συν το τετράγωνο του δεύτερου, συν το γινόμενό τους διπλασιασμένο».

Δηλαδή, ο τύπος που είδαμε παραπάνω δεν είναι απλά μια αλληλουχία μαθηματικών συμβόλων, αλλά οδηγίες χρήσης. Επαναφέρω την λέξη «Sunday» (Κυριακή): διαβάζοντας «σάντεϊ» (το σωστό), αμέσως στο μυαλό έρχεται «η έβδομη μέρα της εβδομάδας». Αν, όμως, διαβάσω «σγιούντεϊ», τότε είναι σαν να διαβάζω την παραπάνω ταυτότητα «παρένθεση, άλφα συν βήτα στο τετράγωνο...»: δεν βγαίνει νόημα σε καμία περίπτωση.

Ένα ακόμη παράδειγμα θα χρησιμοποιήσω, στηριζόμενος στις παρακάτω εικόνες. Πρόκειται για μία από τις πλέον συνηθισμένες ιδιότητες που εφαρμόζονται κατά τις πράξεις, αλλά και πάλι υπάρχει ο σωστός και ο λανθασμένος τρόπος ανάγνωσης. Και, μια και αναφέρθηκε ο «κανονικός» και ο «ανάποδος» τρόπος γραφής και ανάγνωσης, έγραψα την ιδιότητα με τους δύο αυτούς τρόπους.

Για να μην κουράσω περισσότερο, η ιδιότητα αυτή διαβάζεται:

• αν στην βάση ενός τετραγώνου υπάρχει πλην, τότε αυτό το πλην φεύγει (πρώτη εικόνα).

Αυτός ο τρόπος ανάγνωσης και αξιοποίησης της ιδιότητας είναι καλός, όταν έχουμε να κάνουμε με αριθμούς. Τότε η σωστή ανάγνωση συμπληρώνεται με την φράση «και το τετράγωνο πάει στον αριθμό».

• αν στην βάση ενός τετραγώνου υπάρχει συν, τότε μπορώ να βάλω στην βάση πλην (δεύτερη εικόνα).

Ο καλύτερος τρόπος ανάγνωσης (άρα και αξιοποίησης της ιδιότητας) είναι ο εξής:

επειδή οι παραστάσεις -α και α λέγονται αντίθετες, διαβάζουμε «δύο αντίθετες παραστάσεις έχουν ίσα τετράγωνα» ή «στην βάση ενός τετραγώνου μπορώ να βάλω την αντίθετη παράσταση».

Αυτός ο τρόπος ανάγνωσης και αξιοποίησης της ιδιότητας είναι καλός, όταν έχουμε να κάνουμε με αλγεβρικές παραστάσεις και όχι μόνο με αριθμούς.

Ας συνοψίσουμε επομένως:

• τα Μαθηματικά είναι Γλώσσα, όπως τα ελληνικά, τα αγγλικά κ.ο.κ. Άρα, έχουν το «αλφάβητό» τους, την «γραμματική» και το «συντακτικό» τους. Προσέχετε τους καθηγητές σας όταν σας μαθαίνουν σωστά αυτήν την γλώσσα και συνειδητοποιήστε νωρίς, ότι μαθαίνετε μια νέα γλώσσα, με τους κανόνες και τις ιδιοτροπίες της. Τα Μαθηματικά δεν είναι x και y και τετράγωνα και ρίζες, είναι πολλά περισσότερα.

• διαβάζοντας ό,τι βλέπουμε, δεν καταλαβαίνουμε τι διαβάζουμε, άρα πού και πώς χρησιμοποιείται. Έτσι τα Μαθηματικά γίνονται δύσκολα και ακατανόητα. Το ίδιο θα γίνονταν και τα αγγλικά, αν τα διαβάζαμε όπως εμείς θέλαμε ή αντιλαμβανόμασταν. Το αποτέλεσμα θα ήταν μια προσωπική γλώσσα, «κορακίστικη», άρα ακαταλαβίστικη από τους υπόλοιπους (ακόμη κι από εμάς τους ίδιους ίσως). Το συμπέρασμα του βιβλικού μύθου του Πύργου της Βαβέλ είναι ακριβώς αυτό...

• τα Μαθηματικά γράφονται «απ' την καλή» και «απ' την ανάποδη», διαβάζονται «κανονικά», διαβάζονται κι «ανάποδα». Έτσι, όταν δείτε έναν τύπο των Μαθηματικών (σε βιβλίο, σε φυλλάδιο, στον πίνακα, σε γκράφιτι σε κάποιον τοίχο) γραμμένο μ' έναν τρόπο, μπείτε στον κόπο να τον γράψετε «απ' την ανάποδη», δηλαδή φέρνοντας αυτά που είναι δεξιά στην αριστερή μεριά και αυτά που είναι αριστερά στην δεξιά μεριά. Ζητάτε το αυτό από τους καθηγητές σας, να σας το γράφουν και από την «καλή» και από την «ανάποδη», να σας το εξηγούν και «κανονικά» και «ανάποδα», αν δεν το κάνουν ήδη. Ένας τύπος των Μαθηματικών, μια ιδιότητα, ένας ορισμός, δεν λέει μόνο ένα πράγμα κι αυτό συμβαίνει σε πάρα πολύ μεγάλο ποσοστό. Μπορεί να πει και δύο και τρία και τέσσερα πράγματα. Ζητάτε να τα μαθαίνετε και, όταν σας τα εξηγούν, να τα προσέχετε.

Πάντα να προσέχετε κατά την διδασκαλία !

Η διδασκαλία στην αίθουσα συνιστά τουλάχιστον το 80% της διαδικασίας κατανόησης και εκμάθησης των Μαθηματικών (και όχι μόνο βέβαια). Η σχέση με τα Μαθηματικά αρχίζει και χαλάει, όταν ο μαθητής δεν είναι συγκεντρωμένος και δεν παρακολουθεί με προσοχή ό,τι λέει ο καθηγητής των Μαθηματικών. Ο καθηγητής αποτελεί την καρδιά της διδασκαλίας και δεν αντικαθίσταται από κανένα βιβλίο, κανένα φυλλάδιο, κανένα βίντεο. Η διά ζώσης διδασκαλία είναι απλά αναντικατάστατη.

Όταν ο καθηγητής είναι στον πίνακα και εξηγεί το μάθημα της ημέρας, όταν λύνει μία άσκηση ή όταν λύνει μία απορία, είναι πάνω σε μια φανταστική θεατρική σκηνή και ερμηνεύει έναν ρόλο. Όχι, όμως, όπως γνωρίζουμε την ηθοποιία, δηλαδή δεν υποκρίνεται ότι είναι κάποιος χαρακτήρας ενός σεναρίου. Είναι ο εαυτός του και προσπαθεί να μεταδώσει τις γνώσεις του.

Χρησιμοποιεί τα χέρια του όχι μόνο για να γράφει, όσο για να υποδεικνύει, για να τονίζει, για να δείχνει τον βηματισμό, να κρατάει τον ρυθμό. Μπορεί κανείς να πει ότι είναι και ο μαέστρος της «ορχήστρας» των μαθηματικών οργάνων της άσκησης.

Χρησιμοποιεί τον Λόγο, χρωματίζει την φωνή του («Προσέξτε το αυτό», για παράδειγμα), κάνει παύσεις, σας κοιτάει στα μάτια για να δει αν τον παρακολουθείτε, αν καταλαβαίνετε αυτά που σας λέει.

Την ώρα που λύνει μία άσκηση, παρακολουθείτε τον συγχρονισμό στον λόγο και την γραφή του. Την στιγμή που θα πει «Και εδώ κάνουμε αυτό», στην λέξη «εδώ» το χέρι του είναι στο σημείο που πρέπει να δείτε. Αν εκείνη την στιγμή δεν παρακολουθείτε, αυτό το «εδώ» έχει χαθεί κι εσείς δεν θα καταλαβαίνετε μετά.

Την ώρα που λέει «Κι από εδώ προκύπτει αυτό», το χέρι του έχει υποδείξει ποιο είναι το «από εδώ» και ποιο είναι το «προκύπτει αυτό». Αν δεν τον βλέπετε, χάνετε εκείνη την πολύτιμη εξήγησή του, που αργότερα για σας θα γίνει πρόβλημα. Όταν θα πείτε «Δεν την κατάλαβα την άσκηση» ή «Δεν κατάλαβα πώς το κάνατε αυτό», σκεφθείτε ότι αυτό μπορεί να οφείλεται στο ότι δεν τον βλέπατε, δεν τον παρακολουθούσατε την ώρα που αυτός εξηγούσε.

Όσο καλογραμμένο κι αν είναι ένα βιβλίο, δεν μπορεί να μεταφέρει την διδασκαλία στην αίθουσα. Οι προφορικές εξηγήσεις δεν μπορούν να μεταφερθούν -αυτούσιες ή προσαρμοσμένες- σε ένα βιβλίο. Γιατί; Διότι, αν αυτό ήταν εφικτό, τα βιβλία θα είχαν πολλαπλάσιο όγκο. Σκεφτείτε, αν θέλετε δοκιμάστε το κιόλας, να μεταφέρετε στο χαρτί 3 λεπτά ομιλίας. Θα εκπλαγείτε από την έκταση του κειμένου.

Γι' αυτό, προτιμάτε πρώτα να βλέπετε τι κάνει και γιατί και μετά να γράφετε στο τετράδιό σας. Ζητήστε του να σας δίνει μετά τον χρόνο να μεταφέρετε στο τετράδιο ό,τι έγραψε στον πίνακα. Τότε θα δείτε πόσο θα βελτιώσετε την σχέση σας με τα Μαθηματικά, πόσο καλύτερα θα τα καταλαβαίνετε και πώς η δυσκολία τους θα γίνεται μικρότερη. Δεν νομίζω να υπάρχει καθηγητής που θα σας πει «Τα Μαθηματικά είναι εύκολα». Σίγουρα, όμως, θα σας πει «Είμαι εδώ για να βοηθήσω, για να τα κάνω κατανοητά, για να μην σας φαίνονται τόσο δύσκολα».

Θαρρείτε ότι οι καθηγητές τα ξέρουμε όλα; Θαρρείτε ότι εμείς δεν συναντούμε δυσκολίες στα Μαθηματικά;

Φυσικά και δεν τα ξέρουμε όλα, φυσικά και εξακολουθούμε να συναντούμε δυσκολίες. Είναι ανθρώπινο.

Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών.